|
|
 |
Условие
У выпуклого многогранника внутренний двугранный угол при каждом
ребре острый. Сколько может быть граней у многогранника?
Решение
Первое решение. Сначала докажем, что в каждой вершине многогранника сходятся три грани. Рассмотрим произвольный трёхгранный угол. Двойственным к нему называется трёхгранный угол, рёбра которого перпендикулярны граням данного. Очевидно, что сумма любого двугранного угла данного трёхгранного угла с соответствующим плоским углом двойственного равна p. Так как сумма плоских углов двойственного угла меньше 2p, сумма двугранных углов данного больше p. Поскольку n-гранный угол можно разрезать на n-2 трёхгранных, то сумма его двугранных углов больше, чем p(n-2), т. е. хотя бы один из них больше p(1-(2/n)). Так как при n>3 выполнено неравенство 1-(2/n)>1/2, в вершине данного многогранника не может сходиться больше трёх рёбер.Докажем теперь, что если двугранные углы трёхгранного угла острые, то плоские тоже острые. Перейдя к двойственному углу, получим равносильное утверждение: если все плоские углы тупые, то двугранные тоже тупые. Предположим, что для трёхгранного угла OABC это не так, и угол при ребре OC не тупой. Поскольку углы AOC и BOC тупые, то основания перпендикуляров, опущенных из A и B на прямую OC, лежат вне луча OC. Возьмём точки A и B так, чтобы эти перпендикуляры имели общее основание D. Тогда /ADB<p/2, AD<AO, BD<BO. Следовательно, AB2<AD2+BD2<AO2+BO2, и угол AOB острый - противоречие.
Итак, в данном многограннике плоские углы всех граней острые, значит, все грани — треугольники. Кроме того, в каждой вершине сходятся три грани. Рассмотрим произвольную грань KLM. К каждой её стороне примыкает треугольная грань, и любые две из этих граней имеют общее ребро. Следовательно, третьи вершины этих граней совпадают, и многогранник является тетраэдром.
Второе решение. Для каждой из граней рассмотрим вектор внешней нормали, т. е. вектор, перпендикулярный этой грани и направленный вне многогранника.
1) Докажем, что угол между любыми двумя внешними нормалями тупой или развёрнутый. Пусть это не так - нашлись две грани G1 и G2, внешние нормали к которым образуют угол не больше p/2. Тогда грани G1 и G2 принадлежат полуплоскостям P1 и P2, которые образуют двугранный угол величиной не меньше p/2.
Возьмём точку P на грани G2. Пусть P' - проекция точки P на плоскость грани G1. Точка P' лежит вне многоугольника G1, следовательно найдётся прямая, содержащая некоторое ребро r грани G1 и отделяющая P' от G1. Многогранник лежит внутри острого двугранного угла, соответствующего ребру r, но P лежит вне этого двугранного угла. Противоречие.
2) Остаётся показать, что в пространстве не существует более четырёх векторов, попарные углы между которыми тупые или развёрнутые.
Пусть это не так, и u0, u1, u2, u3, u4 - пять векторов, попарные углы между которыми тупые или развёрнутые. Введём прямоугольную систему координат так, чтобы ось Oz была сонаправлена с u0. Обозначим через v1, v2, v3, v4 проекции векторов u1, u2, u3, u4 на плоскость Oxy. Один из углов между v1, v2, v3, v4, скажем, угол между v1 и v2, не превосходит p/2. Это означает, что скалярное произведение (v1, v2) неотрицательно. Пусть u1=(x1, y1, z1), u2 = (x2, y2, z2). Поскольку угол между u1 и u0 тупой, z1<0; аналогично z2<0, следовательно, z1z2>0. Имеем: (u1, u2)=x1x2+y1y2+z1z2 = (v1, v2)+z1z2 >0. Получаем, что угол между u1 и u2 острый - противоречие.
