Задача 105187
|
|
 |
Условие
Докажите, что любой квадратный трёхчлен можно представить в виде суммы двух квадратных трёхчленов с нулевыми дискриминантами.
Решение
Достаточно доказать утверждение для трёхчленов вида ax² + c: остальные можно получить из них сдвигом вдоль оси абсцисс. Более того, можно считать a = 2: остальные трёхчлены указанного вида можно получить из таких умножением на число. Рассмотрим два случая.
1) c ≥ 0. Запишем c в виде 2d². Имеем: 2x² + 2d² = (x – d)² + (x + d)².
2) c < 0. Запишем c в виде – 4d². Имеем: 2x² – 4d² = 2(2(x – d)² – (x – 2d)²).
