Задача 105199

Темы:    [ Вспомогательные равные треугольники ] [ Признаки равенства прямоугольных треугольников ] [ Отношения линейных элементов подобных треугольников ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9

Условие

Треугольники ABC и A₁B₁C₁ – равнобедренные прямоугольные (стороны AB и A₁B₁ – гипотенузы). Известно, что C₁ лежит на BC, B₁ лежит на AB, а A₁ лежит на AC. Докажите, что  AA₁ = 2CC₁.

Решение

  Первый способ. Обозначим  x = CC₁,  y = CA₁.   ∠CA₁C₁ + ∠CC₁A₁ = 90°  и  ∠BC₁B₁ + ∠CC₁A₁ = 90°  (рис. слева). Следовательно,  ∠ CA₁C₁ = ∠BC₁B₁.  Опустим перпендикуляр B₁N на сторону BC. Треугольники B₁NC₁ и C₁CA₁ равны по гипотенузе и острому углу. Отсюда  B₁N = x  и  NC₁ = y.  Треугольник BNB₁ – прямоугольный равнобедренный. Отсюда  NB = x.  По условию  y + AA₁ = CA = CB = y + 2x.  Следовательно,  AA₁ = 2x = 2CC₁.

           

  Второй способ. Пусть D – середина стороны A₁B₁. Тогда  ∠C₁DA₁ = 90°.  Следовательно, четырёхугольник CC₁DA₁ – вписанный, откуда
∠DA₁C₁ = ∠DCC₁ = 45°  и  ∠DC₁C = ∠DA₁A  (рис. справа). Таким образом, треугольники DC₁C и B₁A₁A подобны по двум углам. Коэффициент подобия равен  B₁A₁ : DC₁ = 2,  поэтому  AA₁ = 2CC₁.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	62
Год	2006
вариант
Класс	8
задача
Номер	3