|
|
 |
Условие
Девять одинаковых по виду монет расположены
по кругу. Пять из них настоящие, а четыре — фальшивые.
Никакие две фальшивые монеты не лежат рядом. Настоящие монеты весят
одинаково, и фальшивые — одинаково (фальшивая монета тяжелее
настоящей). Как за два взвешивания на чашечных весах без гирь
определить все фальшивые монеты?
Решение
Так как монет 9 и никакие две фальшивые не лежат рядом,
то какие-то две настоящие монеты лежат рядом, а остальные монеты
чередуются (см. рис.). Заметим, что достаточно найти две настоящие монеты, лежащие рядом (этим расположение остальных монет определяется однозначно). Начав с произвольной монеты, пронумеруем монеты подряд числами от 1 до 9. Взвешивать можно разными способами.
Первый способ. Взвесим монеты 1 и 4. Возможны два случая:
Монеты 1 и 4 весят одинаково. Взвесим монеты 2
и 3. Если 2 и 3 весят одинаково, то они настоящие, поскольку лежат рядом. Пусть одна монета тяжелее
(фальшивая), будем считать, что это монета 2, тогда монеты 3, 1 и 4 настоящие. Монеты 3 и 4 --две
настоящие рядом.
Монеты 1 и 4 весят по-разному. Пусть монета 4 тяжелее
(фальшивая). Тогда монеты 5, 3 и 1 --настоящие, а монета
2 --фальшивая. Взвесим монеты 9 и 6. Если они одинаково
весят, то 7 и 8 --настоящие. Если же какая-то из них настоящая,
то мы находим две настоящих рядом.
Второй способ. Разобьём монеты на три группы 147, 258, 369. В двух из них по одной фальшивой монете, а в ещё одной две фальшивые. Взвесим группы 147 и 258. Если одна из них перевесит, то в ней две фальшивые. Если равенство, то две фальшивые в оставшейся группе 369. После того как мы нашли группу, где две фальшивые, взвесим две монеты из этой группы. Если одна из них легче, то это и есть настоящая, а две другие --фальшивые. Если они равны, то они обе фальшивые. Две монеты, лежащие между найденными фальшивыми, --соседние настоящие.
Третий способ. Разобьём монеты на три группы 123, 456, 789. В двух из них по одной фальшивой, в ещё одной --две фальшивые. Взвесим группы 123 и 456. Если одна из чашек перевесила, то в ней две фальшивые. Если равенство, то две фальшивые в оставшейся группе 789. То есть мы нашли группу, в которой две фальшивые. В силу симметрии далее достаточно разобрать с случай, когда две фальшивые монеты среди монет 123. Так как по условию никакие две фальшивые монеты не стоят рядом, то монеты 1 и 3 фальшивые.
Значит, монеты 9, 2 и 4 настоящие (см. рис.). Взвесим монеты 8 и 5. Если 8 тяжелее, то 5 настоящая, 4 и 5 две рядом стоящие настоящие, значит, 6 фальшивая, 7 настоящая, 8 фальшивая. Если 5 тяжелее, то аналогично 8 настоящая, 8 и 9 две рядом стоящие настоящие, значит, 7 фальшивая, 6 настоящая, 5 фальшивая. Наконец, если 5 и 8 одной массы, то они не могут обе быть настоящими, значит, они обе фальшивые, а 6 и 7 --обе настоящие.
