Задача 105211

Темы:    [ Замощения костями домино и плитками ] [ Развертка помогает решить задачу ] [ Прямоугольный тетраэдр ] [ Движение помогает решить задачу ] [ Метод координат в пространстве (прочее) ]

Сложность: 4+ Классы: 10,11

Условие

Можно ли замостить все пространство равными тетраэдрами, все грани которых — прямоугольные треугольники?

Решение

Для этого надо взять тетраэдр ABCD, развёртка которого показана на рис. В нём CA = AB = BD и  CAB = CAD = ABD = CBD = 90^o. Возможны несколько способов замощения пространства такими тетраэдрами.

Первый способ. Тетраэдр ABCD и симметричный ему относительно плоскости ADC образуют четырехугольную пирамиду с квадратным основанием, одно из боковых ребер которой перпендикулярно основанию и равно его стороне (рис.). Из трех таких пирамид можно составить куб, как показано на рис. Очевидно, что кубами пространство замостить можно.

Этот способ можно описать и по-другому. Введем в пространстве систему координат и рассмотрим множество точек, координаты которых удовлетворяют условиям 0xyz1. Это будет подобный ABCD тетраэдр с вершинами в точках (0, 0, 0), (0, 0, 1), (0, 1, 1), (1, 1, 1). Другие упорядочения значений координат дают еще пять таких же тетраэдров. Эти шесть тетраэдров заполняют единичный куб.

Второй способ. Рассмотрим правильную четырехугольную пирамиду, образованную центром куба и его гранью. У нее есть четыре плоскости симметрии, разрезающие ее на 8 тетраэдров, подобных ABCD. Следовательно, куб можно разрезать на 48 таких тетраэдров.

Третий способ. Объединив тетраэдр ABCD и симметричный ему относительно плоскости ABC, получим тетраэдр, основанием которого является равнобедренный прямоугольный треугольник, а высотой --боковое ребро, проходящее через вершину прямого угла. Из двух таких тетраэдров, симметричных относительно общей боковой грани, составим тетраэдр с равнобедренным прямоугольным треугольником в основании и высотой, падающей в середину гипотенузы. Наконец, из двух таких тетраэдров можно составить тетраэдр, подобный ABCD. (Чтобы убедиться в этом, достаточно разрезать ABCD по плоскости, проходящей через A, B и середину CD.) Таким образом, из 8 тетраэдров, равных ABCD, можно составить подобный им тетраэдр вдвое большего размера. Повторяя этот процесс, получим искомое замощение пространства.

Ответ

Да.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	62
Год	2006
вариант
Класс	10
задача
Номер	3