Информация о задаче

Задача 105217

Темы:	[	Развертка помогает решить задачу	]
	[	Тетраэдр (прочее)	]
	[	Свойства разверток	]
	[	Симметрия помогает решить задачу	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Прислать комментарий

Условие

Можно ли намотать нерастяжимую ленту на бесконечный конус так, чгобы сделать вокруг его оси бесконечно много оборотов? Ленту нельзя наматывать на вершину конуса, а также разрезать и перекручивать. При необходимости можно считать, что она бесконечна, а угол между осью и образующей конуса достаточно мал.

Решение

$\epsfbox{pic11.1}$

Разрежем конус по какой-либо образующей и изобразим на плоскости его развёртку, представляющую собой плоский угол A₀OA₁ величины $\alpha$ (рис.). След ленты на ней, изображающий первый виток, будет выглядеть, как полоса с параллельными краями, проходящая от стороны OA₀ к стороне OA₁. Приложим к этому углу еще одну развёртку конуса --угол A₁OA₂ той же величины $\alpha$ . Перейдя через сторону OA₁ нового угла, след ленты продолжит ту же полосу на второй развёртке, пока не дойдет до стороны OA₂, изобразив второй виток, и т.д.

Если лента делает n витков, причем n > $\pi$ / $\alpha$ , то полоса (по условию, не проходящая через точку O) пересекает лучи OA₀, OA₁,..., OA_n, что невозможно, так как тогда $\pi$ > $\angle$ A₀OA_n = n $\alpha$ > $\pi$ . Поэтому число n витков ленты не превышает $\pi$ / $\alpha$ , а значит, заведомо конечно.

Комментарий. Зная из опыта об описанном в задаче эффекте, медицинская сестра, когда бинтует больному, скажем, руку, расширяющуюся от кисти к локтю, регулярно перекручивает бинт, чтобы он не сползал все время в сторону локтя.

Ответ

Нет.

Источники и прецеденты использования


олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	62
Год	2006
вариант
Класс	11
задача
Номер	3