Задача 107706

Темы:    [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ Инварианты ]

Сложность: 3- Классы: 6,7,8

Условие

Сумасшедший кассир меняет любые две монеты на любые три по вашему выбору, а любые три – на любые две. Сможет ли Петя обменять у него 100 монет достоинством 1 рубль на 100 монет достоинством 1 форинт, отдав ему при обмене ровно 2001 монету?

Решение

Если Петя меняет две монеты на три, то количество монет у него увеличивается на одну. Пусть он произвёл N таких обменов. Отдал кассиру 2N монет. Чтобы сохранить общее число монет, Петя вынужден совершить столько же обменов трёх монет на две. При этом он отдаст кассиру ещё 3N монет. Всего он отдаст, таким образом,  2N + 3N = 5N  монет. Но 2001 не делится на 5.

Ответ

Не может.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир им.Ломоносова
номер/год
Год	2001
Название	конкурс по математике
Задача
Номер	4