|
|
 |
Условие
Рассматривается произвольный многоугольник (не обязательно выпуклый).
а) Всегда ли найдётся хорда многоугольника, которая делит его на две
равновеликие части?
б) Докажите, что любой многоугольник можно разделить некоторой хордой на
части, площадь каждой из которых не меньше чем ⅓ площади многоугольника. (Хордой многоугольника называется отрезок, концы которого принадлежат
контуру многоугольника, а сам он целиком принадлежит многоугольнику,
включая контур.)
Решение
а) Примером служит многоугольник, состоящий из трёх одинаковых квадратов (залов), соединенных тонкими изогнутыми коридорами (см. рис.).
б) Выберем направление хорды, не параллельное сторонам и диагоналям
многоугольника, и будем считать это направление вертикальным. Тогда хорда
может проходить не более чем через одну вершину многоугольника. Если ни одна
внутренняя точка хорды не является вершиной многоугольника, то хорда делит
многоугольник ровно на 2 части, в противном случае – ровно на 3.
Если площадь меньшей части больше или равна S/3, то задача решена. В противном случае, будем двигать хорду перпендикулярно вертикали в ту сторону, в которую площадь меньшей части многоугольника растёт. При движении хорда может "натолкнуться" на внутреннюю вершину (но не на две вершины сразу).
Если хорда не встречает препятствий на своем пути, площадь наименьшей части изменяется непрерывно.
Если в какой-то момент она достигнет S/3, то задача решена. В противном случае, хорда натолкнется на внутреннюю вершину. В этом месте могут сходиться или расходиться два коридора (рис. слева), тогда хорда, выходя из коридора, скачком увеличится или, входя в коридор, скачком уменьшится (или "перепрыгнет" в другую часть многоугольника, как на рис. справа).
Из трёх образовавшихся частей многоугольника самая большая должна иметь площадь больше S/3. Направим вертикальную хорду в наибольшую часть, тогда две меньшие части объединятся. Если их площадь станет больше или равна S/3, то задача решена. В противном случае продолжаем двигать хорду, пока она не натолкнется на следующую вершину, и т. д.
Площадь меньшей части всё время растёт, поэтому мы не можем пройти два раза через одну и ту же внутреннюю вершину. Но внутренних вершин – конечное число, значит, процесс завершится.
Замечания
Уменьшив толщину коридоров в примере из а), можно построить пример, где площадь меньшей части не превосходит S/3 + ε, где ε сколь угодно мало. Таким образом в п. б) нельзя заменить ⅓ на большее число.
