Задача 107798

Темы:    [ Взвешивания ] [ Подсчет двумя способами ]

Сложность: 4- Классы: 7,8,9

Условие

Автор: Произволов В.В.

По кругу расставлены 10 железных гирек. Между каждыми соседними гирьками находится бронзовый шарик. Масса каждого шарика равна разности масс соседних с ним гирек. Докажите, что шарики можно разложить на две чаши весов так, чтобы весы уравновесились.

Решение

  Обозначим массы гирек через m_i, а массы шариков — через x_i. Имеем

(m₁ - m₂) + (m₂ - m₃) + ... + (m₉ - m₁₀) + (m₁₀ - m₁) = 0.

Действительно, каждое m_i входит в эту сумму два раза: один раз со знаком "+", а второй раз — со знаком "-". Поэтому все m_i сократятся.

Заметим, что каждая из величин в скобках (m_i - m_{i + 1}) по модулю равна массе i-го шарика. Значит, это равенство можно переписать так:

±x₁±x₂±...±x₉±x₁₀ = 0,

где перед некоторыми x_i стоит знак "+", а перед остальными — "-". Положим все шарики x_i, перед которыми стоят знаки "+" на левую чашу весов, а остальные — на правую. Ясно, что весы будут в равновесии.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	59
Год	1996
вариант
Класс	8
задача
Номер	2