|
|
 |
Условие
В узлах клетчатой бумаги живут садовники, а вокруг них повсюду растут цветы. За каждым цветком должны ухаживать 3 ближайших к нему садовника. Один из садовников хочет узнать, за каким участком он должен ухаживать. Нарисуйте этот участок.Решение
Рассмотрим клетку, в которой находится цветок. Разобьем ее на четыре маленькие клеточки. Примем
длину стороны маленькой клеточки за единицу (соответственно сторона клетки равна двум). Пусть наш цветок оказался в левой верхней клеточке, как на рис. (остальные случаи аналогичны). Обозначим садовников, живущих в вершинах клетки, через A, B, C и D.
Докажем следующее утверждение: за цветком будут ухаживать садовники A, B и C.
Разобьем всех садовников на четыре заштрихованных на рис. сектора. Будем называть секторы по имени "углового" садовника — сектор A, ..., сектор D.
Заметим, что садовник A ближе к цветку, чем садовник B. Действительно, расстояния по вертикали от цветка до этих садовников равны, а расстояние по горизонтали до садовника A меньше, чем до садовника B (потому что расстояние по горизонтали до садовника A меньше единицы, а до садовника B — больше). Значит, садовник A — ближе (следует из теоремы Пифагора).
Аналогично, садовник A ближе к цветку, чем садовник C, а садовники B и C ближе, чем садовник D. Поэтому садовник D не ухаживает за цветком. Не ухаживают за цветком и остальные садовники из сектора D — они еще дальше от цветка, чем садовник D (рассмотрите расстояния по вертикали и горизонтали).
Рассмотрим сектор B. Ближайшие в этом секторе садовники — это B1 и B2. Покажем, что они не ухаживают за цветком. Рассмотрим, например, садовника B1. Ясно, что он дальше, чем B. Расстояние от этого садовника до цветка по вертикали больше, чем 2, а по горизонтали — больше, чем 1. Так что он дальше от цветка, чем C. И уж тем более он дальше от цветка, чем A.
Наконец, рассмотрим сектор A. Покажем, что садовники A1 и A2 не ухаживают за цветком. Рассмотрим садовника A1 (для A2 доказательство аналогично). Ясно, что он дальше от цветка, чем B (опять же, расстояние по горизонтали от него до цветка больше, чем от B до цветка). Осталось доказать, что садовник C ближе к цветку, чем садовник A1.
Проведем серединный перпендикуляр к отрезку A1C. Точки этого перпендикуляра равноудалены от точек A1 и C. Точки лежащие ниже перпендикуляра — ближе к C, чем к A1. Ясно, что цветок находится ниже перпендикуляра, значит, он ближе к C.
Итак, за цветком ухаживают садовники A, B и C.
Рассмотрим теперь садовника X. Из предыдущего ясно, что цветы, за которыми он ухаживает, могут находиться только в прилежащих к нему клетках. К тому же, достаточно нарисовать искомую область только для одной клетки и воспользоваться симметрией. Рассмотрим, например, клетку XYZT (рис.). Разделим ее на 4 маленьких клеточки. По доказанному, для трех заштрихованных
клеточек садовник X будет одним из ухаживающих. За цветами, растущими в четвертой клеточке, будут ухаживать садовники Y, Z и T. Значит, садовник ухаживает за цветами, растущими в этих трех клеточках, и еще в девяти клеточках, получающихся из них симметрией.
