Задача 107828

Темы:    [ Упорядочивание по возрастанию (убыванию) ] [ Линейные неравенства и системы неравенств ] [ Взвешивания ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10

Условие

Автор: Дольников В.Л.

На тарелке лежат 9 разных кусочков сыра. Всегда ли можно разрезать один из них на две части так, чтобы полученные 10 кусочков делились бы на две порции равной массы по 5 кусочков в каждой?

Решение

Расположим кусочки в порядке возрастания массы:  m₁ < m₂ < ... < m₉.  В одну группу положим 1-й, 3-й, 5-й и 7-й кусочки, в другую – 2-й, 4-й, 6-й и 8-й. Тогда  m₁ + m₃ + m₅ + m₇ < m₂ + m₄ + m₆ + m₈.  А если в первую группу добавить 9-й кусочек, то  m₁ + m₃ + m₅ + m₇ + m₉ > m₂ + m₄ + m₆ + m₈.  Следовательно, достаточно разрезать 9-й кусочек.

Ответ

Всегда.

Замечания

Ср. с задачей 98339.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	60
Год	1997
вариант
Класс	9
задача
Номер	2
олимпиада
Название	Московская математическая регата
год
Год	2012/13
класс
Класс	9
задача
Номер	9.4.3