Задача 107863
|
|
 |
Условие
Числа x, y, z удовлетворяют равенству x + y + z – 2(xy + yz + xz) + 4xyz = ½. Докажите, что хотя бы одно из них равно ½.
Решение
Заметим, что x + y + z – 2(xy + yz + xz) + 4xyz – ½ = ½ (2x – 1)(2y – 1)(2z – 1). Если левая часть равенства равна нулю, то хотя бы один множитель справа равен нулю. Значит, одно из чисел x, y, z равно ½.
Замечания
Догадаться до разложения на множители может помочь теорема Безу (см. задачу 60961): при x = ½ наш многочлен обращается в ноль, значит, он делится на x – ½.
Другой способ: согласно обратной теореме Виета P(x, y, z) = – 4f (½), где f(t) = (t – x)(t – y)(t – z).
