Информация о задаче

Задача 107983

Темы:	[	Метод ГМТ	]
	[	Против большей стороны лежит больший угол	]
	[	Вписанный угол, опирающийся на диаметр	]

Сложность: 3+
Классы: 7,8,9

Прислать комментарий

Условие

Автор: Шарыгин И.Ф.

Для двух данных различных точек плоскости A и B найдите геометрическое место таких точек C, что треугольник ABC остроугольный, а его угол A - средний по величине.

Комментарий. Под средним по величине углом мы понимаем угол, который не больше одного из углов, и не меньше другого. Так, например, мы считаем, что у равностороннего треугольника любой угол - средний по величине.

Решение

Проведем через точку A прямую, перпендикулярную отрезку AB. Ясно, что $\angle$ BAC < 90^o тогда и только тогда, когда точки B и C лежат по одну сторону от этой прямой. Теперь понятно, что множество таких точек, что $\angle$ A < 90^o и $\angle$ B < 90^o, есть полоса, границы которой проходят через точки A и B и перпендикулярны отрезку AB (рис. 1а).

Построим окружность на отрезке AB как на диаметре. Если точка C лежит на этой окружности, то $\angle$ ACB = 90^o, если внутри, то этот угол тупой, если снаружи - острый. Значит, геометрическое место таких точек C, что треугольник ABC остроугольный, совпадает с множеством, заштрихованным на рис. 1б).

1а) $\epsfbox{1993/ol9391-2.mps}$ 1б) $\epsfbox{1993/ol9391-3.mps}$

Условие, что угол A средний по величине, можно записать как $\angle$ B $\le$ $\angle$ A $\le$ $\angle$ C или $\angle$ C $\le$ $\angle$ A $\le$ $\angle$ B.

Так как против большего угла лежит большая сторона, условие $\angle$ B $\le$ $\angle$ A $\le$ $\angle$ C эквивалентно условию

AC $\displaystyle \le$ BC $\displaystyle \le$ AB.

(1)

Рассмотрим серединный перпендикуляр к отрезку AB. Точки этого перпендикуляра равноудалены от точек A и B. Точки, лежащие по ту же сторону от перпендикуляра, что и точка A, ближе к точке A, чем к точке B. Значит, геометрическое место таких точек C, что AC $\le$ BC, есть полуплоскость, отсекаемая серединным перпендикуляром, и содержащая точку A.

Рассмотрим круг, с центром в точке B и радиусом AB. Условие BC $\le$ AB равносильно тому, что точка C лежит внутри этого круга. Итак, геометрическое место точек, удовлетворяющих условию (1 ), есть множество, изображенное на рис. 2а).

Аналогично, условие $\angle$ C $\le$ $\angle$ A $\le$ $\angle$ B эквивалентно условию AB $\le$ BC $\le$ AC, и соответствующее геометрическое место точек изображено на рис. 2б). Объединяя множества, изображенные на рис. 2а) и 2б), получим геометрическое место таких точек C, что в треугольнике ABC угол A - средний по величине (рис. 2в).

Осталось нарисовать пересечение ГМТ на рис. 2в) с ГМТ на рис. 2б).

2а) $\epsfbox{1993/ol9391-4.mps}$ 2б) $\epsfbox{1993/ol9391-5.mps}$ 2в) $\epsfbox{1993/ol9391-6.mps}$

Источники и прецеденты использования


олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	56
Год	1993
вариант
Класс	9
задача
Номер	1