|
|
 |
Условие
При разложении чисел A и B в бесконечные десятичные дроби длины минимальных периодов этих дробей равны 6 и 12 соответственно. Чему может быть равна длина минимального периода числа A + B?
Решение
Как известно, длина минимального периода дроби является делителем длины любого другого ее периода, (длину минимального периода конечной десятичной дроби мы будем считать равной единице).
Лемма. Если k – длина одного из периодов
(не обязательно минимального) каждой из дробей A и B, то k будет длиной некоторого периода дробей A + B и A – B.
Доказательство. Периодическую дробь A с длиной периода k можно представить в виде A = , где X – целое число. Аналогично
B = . Без ограничения общности можно считать, что l ≥ m. Тогда
A + B =
. Это число такого же вида, так что соответствующая дробь имеет период длины k.
Доказательство для A – B аналогично.
Пусть дробь A имеет период длины 6, а дробь B – период длины 12. Из леммы следует,что 12 – длина некоторого периода дроби A + B. Значит, длина минимального периода дроби A + B является делителем числа 12.
С другой стороны, длина периода дроби A + B не может равняться 6 - иначе дробь B = (A + B) – A имела бы период длины 6. Значит, длина минимального
периода дроби A + B не может равняться 6, 3, 2 и 1.
Остаются два варианта: 12 и 4. Покажем, что оба эти варианта возможны:
A = 0,(000001), B = 0,(000000000001), A + B = 0,(000001000002);
A = 0,(000001), B = 0,(011100110110), A + B = 0,(0111).
Замечания
1. Чтобы получить пример дробей с длинами минимальных периодов 6 и 12, сумма которых имеет минимальный период длины 4 достаточно из любой дроби с минимальным периодом длины 4 вычесть дробь с минимальным периодом длины 6: получим дробь с минимальны периодом длины 12.
2. Опишем все возможные длины минимальных периодов дроби A + B в общем случае. Пусть m, n и k – длины минимальных периодов дробей A, B и
A + B. Тогда k является делителем НОК(m, n). Аналогично, m – делитель НОК(n, k), и n – делитель НОК(m, k). Пусть p1, ..., ps – все простые делители НОК(m, n), причём где αi, βj могут равняться нулю. Тогда
где
γi = max {αi, βi}, при αi ≠ βi и γi – любое число от 0 до αi, при αi = βi. Можно показать и обратное: любое такое k является длиной минимального периода некоторой дроби A + B, где длина минимального периода дроби A равна m, а длина минимального периода дроби B равна n.
