|
|
 |
Условие
Единичный квадрат разбит на конечное число квадратиков (размеры которых могут различаться). Может ли сумма периметров квадратиков, пересекающихся с главной диагональю, быть больше 1993? (Если квадратик пересекается с диагональю по одной точке, это тоже считается пересечением.)
Решение
Разобьём единичный квадрат на четыре равных квадратика. Квадратики, пересекающиеся с диагональю только по вершине, назовём квадратиками первого уровня. Каждый из оставшихся квадратиков разобьём на четыре квадратика. Квадратики, пересекающиеся с диагональю по вершине, назовём квадратиками второго уровня. Снова разобьём каждый из оставшихся квадратиков на четыре квадратика и т.д. (см. рис.).
Проведём эту операцию 500 раз. Мы получили 2k квадратиков k-го уровня. Сторона каждого из них равна 2–k. Значит, их суммарный периметр равен 4. Следовательно, суммарный периметр всех квадратиков всех уровней равен 4·500 > 1993.
Ответ
Может.
Замечания
1. 4 балла.
2. Формулировку задачи можно усилить. Существует такое разбиение квадрата на квадратики, что сумма периметров квадратиков, имеющих общую
внутреннюю точку с диагональю квадрата, больше 1993.
Идея решения в следующем: возьмём квадратики предыдущего разбиения, лежащие ниже диагонали, затем стороны квадратиков "чуть-чуть" увеличим, но так, чтобы они имели рациональную длину. (Рациональность нужна для того, чтобы оставшуюся часть квадрата можно было разбить на равные квадратики.)
3. Эта задача возникла на лекции известного математика Н.Н. Лузина, когда он захотел короче доказать теорему Коши (он любил импровизировать). Лузин предположил, что кривая ограниченной длины, содержащаяся в единичном квадрате, может пересечь квадратики разбиения только ограниченного суммарного периметра. Будущий академик А.Н. Колмогоров слушал эту лекцию и вскоре построил контрпример.
