Задача 108007

Темы:    [ Точка Нагеля. Прямая Нагеля ] [ Вписанная, описанная и вневписанная окружности; их радиусы ] [ Гомотетичные окружности ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Пусть Ω' – окружность, гомотетичная с коэффициентом ½ вписанной окружности ω треугольника относительно точки Нагеля, а Ω – окружность, гомотетичная окружности ω
с коэффициентом –½ относительно точки пересечения медиан. Докажите, что:
  а) окружности Ω и Ω' совпадают;
  б) окружность Ω касается средних линий треугольника;
  в) окружность Ω' касается прямых, соединяющих попарно середины отрезков с концами в точке Нагеля и вершинах треугольника.

Решение

  Рассмотрим треугольник ABC. Обозначим  BC = a,  AC = b,  AB = c. Пусть A₁, B₁, C₁ – середины сторон BC, AC, AB соответственно, A₂, B₂, C₂ – точки касания вневписанных окружностей треугольника с этими сторонами, K – точка касания первой из этих окружностей с продолжением стороны AC, P – точка касания ω со стороной BC, Q – центр ω, M – точка пересечения медиан,
p – полупериметр треугольника, N – точка Нагеля.
  Поскольку  BP = p – AC = p – b  и  CA₂ = CK = AK – AC = p – b,  то  BP = CA₂.  Поэтому середина A₁ стороны BC является также серединой отрезка PA₂.
  Рассмотрим гомотетию с центром в точке A, переводящую вневписанную окружность, касающуюся стороны BC, в ω. При этой гомотетии точка A₂ переходит в точку E лежащую на отрезке AA₂ и на ω, причём касательная к этой окружности, проведённая в точке E, параллельна стороне BC. Поэтому точки E, Q и P лежат на одной прямой, причём Q – середина отрезка PE. Поскольку Q и A₁ – середины сторон треугольника A₂PE, отрезок A₁Q – средняя линия этого треугольника. Значит,  A₁Q || AA₂.  Аналогично  B₁Q || BB₂  и  C₁Q || CC₂.
  Итак, при гомотетии с центром M и коэффициентом – ½ точка A переходит в точку A₁, луч AA₂ – в луч A₁Q, точка B – в B₁, луч BB₂ – в луч B₁Q, точка C – в C₁, луч CC₂ – в луч C₁Q. Точка N пересечения прямых AA₂, BB₂, CC₂ переходит в точку пересечения прямых A₁Q, B₁Q, C₁Q, то есть в Q. Значит, точка M лежит на отрезке QN и  MN = 2MQ.  При этом окружность ω переходит во вписанную окружность Ω треугольника A₁B₁C₁.
  При гомотетии с центром N и коэффициентом ½ точки A, B, C переходят соответственно в середины A', B', C' отрезков NA, NB, NC, а окружность ω – во вписанную окружность Ω' треугольника A'B'C'. Из теоремы о средней линии треугольника следует, что треугольники A₁B₁C₁ и A'B'C' равны. Значит, равны и радиусы вписанных окружностей Ω и Ω' этих треугольников. Осталось доказать, что эти окружности имеют общий центр.
  Центр Q₂ вписанной окружности треугольника A'B'C' лежит на отрезке NQ и делит его пополам. Центр Q₁ вписанной окружности треугольника A₁B₁C₁ лежит на продолжении отрезка QM за точку M, причём  Q₁ = ½ QM,  а так как  MN = 2MQ,  то Q₁ – также середина NQ. Что и требовалось.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4286