Задача 108010

Темы:    [ Построение треугольников по различным элементам ] [ Окружность Ферма-Аполлония ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

С помощью циркуля и линейки постройте треугольник по его биссектрисе и отрезкам, на которые она делит сторону треугольника.

Решение

Пусть нужный треугольник ABC построен (рис.1), CD=l_c — данная биссектриса, BD=a' и AD=b' — данные отрезки, на которые она делит сторону AB . Обозначим BC=a , AC=b .



По формуле для квадрата биссектрисы треугольника (рис.1)

l_c2= CD2 = BC· AC - BD· AD = ab - a'b'.
По свойству биссектрисы треугольника
= = = .

Отсюда вытекает следующее построение. По данным отрезкам a' и b' строим отрезок x= — среднее геометрическое отрезков a' и b' . Зная отрезок x и данный отрезок l_c , строим отрезки
y = = = и z=· y.

Поскольку
a2 = · ab = · y2,
то можно построить отрезок
a= = = .
По известным отрезкам a , a' и l_c строим треугольник BCD . Далее очевидно.


Известно, что геометрическое место точек, отношение расстояний от каждой из которых до двух заданных точек A и B постоянно и отлично от 1, есть окружность (окружность Аполлония).
Пусть a'>b' . Тогда биссектриса внешнего угла при вершине C пересекает продолжение стороны BA за точку A (рис.2). Обозначим точку пересечения через E . Тогда по свойству биссектрисы внешнего угла треугольника
= = = = .
Значит, можно построить отрезок
AE = AB· = .
(Отрезок DE виден из искомой точки C под прямым углом.) Далее на отрезке AB строим как на диаметре окружность — окружность Аполлония для точек A и B и отношения . Тогда искомая вершина C — это точка пересечения построенной окружности с окружностью с центром D и радиусом l_c .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4289