Задача 108023
|
|
 |
Условие
Дан равносторонний треугольник ABC. Из его внутренней точки M опущены перпендикуляры MA', MB', MC' на стороны.
Найдите геометрическое место точек M, для которых треугольник A'B'C' – прямоугольный.
Решение
Пусть точки A', B' и C' лежат на сторонах BC, AC и AB соответственно. Предположим, что ∠A'C'B' = 90°.
Четырехугольник CA'MB' вписанный, значит, ∠B'A'M = ∠B'CM. Аналогично ∠C'A'M = ∠C'BM. Поэтому
∠B'A'C' = 90° ⇔ ∠B'CM + ∠C'BM = 90° ⇔ ∠MCB + ∠C'BM = 60° + 60° – 90° = 30° ⇔ ∠BMC = 150°.
Итак, множество точек M, для которых ∠A'C'B' = 90°, – дуга окружности, проходящей через точки A и B, вмещающая угол в 150°. А полным ответом будет объединение трёх таких дуг.
Ответ
Объединение 3 дуг, с каждой из которых одна из сторон видна под углом 150╟ (см. рис.).
Замечания
6 баллов
