Задача 108025

Темы:    [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Вписанная, описанная и вневписанная окружности; их радиусы ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Пусть p – полупериметр остроугольного треугольника, R и r – радиусы соответственно описанной и вписанной окружностей, q – полупериметр треугольника с вершинами в основаниях высот данного. Докажите, что R:r = p:q .

Подсказка

Если BB' и CC' — высоты треугольника ABC, а O — центр описанной окружности, то OA B'C'.

Решение

Пусть AA' , BB' и CC' – высоты данного остроугольного треугольника (рис.1), O – центр его описанной окружности. Обозначим

BC=a, AC=b, AB=c, B'C'=a', A'C'=b', A'B'=c'.
Воспользуемся известным фактом: ACB = AC'B' . На касательной к описанной окружности треугольника ABC , проведённой через вершину A , возьмём точку K так, чтобы эта точка и вершина C лежали по разные стороны от прямой AB . Из теоремы об угле между касательной и хордой следует, что
BAK = ACB = AC'B'.
Значит, AK || B'C' , а т.к. OA AK , то OA B'C' . Аналогично докажем, что OB A'C' и OC A'B' . У каждого из четырёхугольников AB'OC' , BA'OC' и CA'OB' диагонали взаимно перпендикулярны, поэтому
pr = S_{Δ ABC} = S_AB'OC'+S_BA'OC'+S_CA'OB' =

=· AO· B'C'+· BO· A'C'+· CO· A'B'=

=R(B'C'+A'C'+A'B') = R(a'+b'+c')=Rq.
Следовательно, R:r=p:q .

Пусть AA' , BB' и CC' – высоты данного остроугольного треугольника. Обозначим
B'C'=a', A'C'=b', A'B'=c', BAC = α.
Воспользуемся известным фактом: высоты остроугольного треугольника делят пополам углы его ортотреугольника. Пусть K и L – образы точки A' при симметрии относительно прямых AC и BC соответственно. Тогда
KB'C = A'B'C = 90^o- A'B'B = 90^o - BB'C'= AB'C'.
Значит, точка K лежит на прямой B'C' . Аналогично докажем, что точка L также лежит на прямой B'C' . Поэтому
KL = KB'+B'C'+C'L = A'B'+B'C'+A'C' = c'+a'+b' = 2q.
Поскольку
AL=AA'=AK, LAB = A'AB, и KAC = A'AC,
то KAL = 2 BAC= 2α . Поэтому
2q = LK = 2AK· sin KAL = 2AA'· sin α =

= 2· · sin α = 2· · sin α = .
Следовательно, R:r=p:q .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4305