ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
Задача 108027
УсловиеИз точки M внутри треугольника опущены перпендикуляры на высоты. Оказалось, что отрезки высот от вершин до оснований этих перпендикуляров равны между собой. Докажите, что в этом случае они равны диаметру вписанной в треугольник окружности.Решение 1 Пусть I, J и K – проекции точки M на высоты соответственно AD, BE и CF треугольника ABC. Обозначим AI = BJ = CK = t, S = SABC. Решение 2Через вершины A, B и C проведём прямые, параллельные противоположным сторонам. Получим треугольник A1B1C1, подобный треугольнику ABC с коэффициентом 2. Указанные отрезки высот равны расстояниям от точки до сторон треугольника A1B1C1. Таким образом, точка M, лежащая внутри треугольника A1B1C1, равноудалена от его сторон. Значит, M – центр вписанной окружности треугольника A1B1C1 и находится от его сторон на расстоянии, равном радиусу вписанной окружности треугольника A1B1C1, то есть диаметру вписанной окружности треугольника ABC. Замечания1. Несколько более общее утверждение см. в Задачнике "Кванта", задача М1087. 2. 5 баллов. Источники и прецеденты использования |
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|