ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 108027
Темы:    [ Перегруппировка площадей ]
[ Площадь треугольника (через полупериметр и радиус вписанной или вневписанной окружности) ]
[ Отношения линейных элементов подобных треугольников ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Из точки M внутри треугольника опущены перпендикуляры на высоты. Оказалось, что отрезки высот от вершин до оснований этих перпендикуляров равны между собой. Докажите, что в этом случае они равны диаметру вписанной в треугольник окружности.


Решение 1

  Пусть I, J и K – проекции точки M на высоты соответственно AD, BE и CF треугольника ABC. Обозначим  AI = BJ = CK = tS = SABC.
   2S = 2SAMB + 2SBMC + 2SAMC = 2SAKB + 2SBIC + 2SAJC = AB·FK + BC·DI + AC·EJ = AB·(CF – CK) + BC·(AD – AI) + AC·(BE – BJ) = 6S – (AB + BC + AC)t.
  Отсюда  4S = (AB + BC + AC)t.
  В то же время,  2S = (AB + BC + AC)r,  где r – радиус вписанной окружности. Следовательно,  t = 2r.


Решение 2

Автор: Макаров Д.

  Через вершины A, B и C проведём прямые, параллельные противоположным сторонам. Получим треугольник A1B1C1, подобный треугольнику ABC с коэффициентом 2. Указанные отрезки высот равны расстояниям от точки до сторон треугольника A1B1C1. Таким образом, точка M, лежащая внутри треугольника A1B1C1, равноудалена от его сторон. Значит, M – центр вписанной окружности треугольника A1B1C1 и находится от его сторон на расстоянии, равном радиусу вписанной окружности треугольника A1B1C1, то есть диаметру вписанной окружности треугольника ABC.

Замечания

1. Несколько более общее утверждение см. в Задачнике "Кванта", задача М1087.

2. 5 баллов.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 4307
олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Номер 9
Дата 1987/1988
вариант
Вариант осенний тур, 9-10 класс
Задача
Номер 4

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .