Задача 108033

Темы:    [ Неравенство треугольника ] [ Вписанная, описанная и вневписанная окружности; их радиусы ] [ Площадь треугольника (через полупериметр и радиус вписанной или вневписанной окружности) ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Автор: Фомин Д.

В треугольнике ABC проведена медиана AM.
Может ли радиус вписанной окружности треугольника ABM быть ровно в два раза больше радиуса вписанной окружности треугольника ACM?

Подсказка

Площадь треугольника равна его полупериметру, умноженному на радиус вписанной окружности.

Решение

Предположим, что это так. Поскольку площади треугольников ABM и ACM равны, а радиус вписанной окружности треугольника ABM в два раза больше радиуса вписанной окружности треугольника ACM, то периметр треугольника ACM вдвое больше периметра треугольника ABM. Поэтому
2(AB + BM + MA) = AC + CM + MA,  откуда  AC = CM + MA + 2AB > CM + MA,  что противоречит неравенству треугольника.

Ответ

Не может.

Замечания

3 балла

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4313
олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Дата	1988/1989
Номер	10
вариант
Вариант	весенний тур, тренировочный вариант, 7-8 класс
Задача
Номер	2