Условие
Для каждой точки C полуокружности с диаметром AB (C отлична от A и B) на сторонах AC и BC треугольника ABC построены вне треугольника квадраты. Найдите геометрическое место середин отрезков, соединяющих их центры.
Подсказка
Полуокружность.
Решение
Пусть O – центр, а D – середина полуокружности Г. Построим квадраты ACKL и BCNP. Очевидно, AKNB – равнобочная трапеция, а C – точка пересечения ее диагоналей. Нас интересует середина M средней линии этой трапеции. ∠ACM = 45° или 135°, значит, прямая CM проходит через D. Треугольник COD – равнобедренный, поэтому его высота OM совпадает с медианой,то есть DM = ½ DC. Итак, точка M получена из точки C гомотетией с центром D и коэффициентом ½. Следовательно, искомое ГМТ есть полуокружность, полученная из Г (без точек A и B) этой гомотетией (см. рисунок в ответе).
Ответ
Замечания
4 балла
