Задача 108057

Темы:    [ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ] [ Перенос стороны, диагонали и т.п. ] [ Правильный (равносторонний) треугольник ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Автор: Смирнов С.К.

В трапеции ABCD (AD – основание) диагональ AC равна сумме оснований, а угол между диагоналями равен 60°.
Докажите, что трапеция равнобедренная.

Подсказка

Постройте параллелограмм AKBC.

Решение

Пусть диагонали трапеции пересекаются в точке O. Построим параллелограмм ABCD. Тогда  ∠KBD = ∠AOD,  AK = BC  и
KB = AC = BC + AD = AK + AD = KD.  Значит, треугольник KBD – равнобедренный  (KB = KD).  Поскольку углы при основании равнобедренного треугольника – острые, то угол KBD не может быть равен 120°. Следовательно, он равен 60°, и треугольник KBD – равносторонний. Поэтому
BD = KB = AC,  то есть диагонали трапеции равны между собой.

Замечания

3 балла

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4337
олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Дата	1991/1992
Номер	13
вариант
Вариант	весенний тур, тренировочный вариант, 8-9 класс
Задача
Номер	2