Задача 108130

Темы:    [ Подерный (педальный) треугольник ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Признаки подобия ] [ Вписанные и описанные окружности ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

В треугольнике ABC отмечена точка O и из неё опущены перпендикуляры OA₁, OB₁, OC₁ на стороны BC, AC, AB соответственно. Пусть A₂, B₂, C₂ – вторые точки пересечения прямых AO, BO, CO с описанной окружностью треугольника ABC. Докажите, что треугольники A₁B₁C₁ и A₂B₂C₂ подобны.

Решение

  Точки B₁ и C₁ лежат на окружности с диаметром OA, а точки A₁ и C₁   лежат на окружности с диаметром OB. Значит,  ∠CAA₂ = ∠B₁AO = ∠B₁C₁O.
  Аналогично  ∠CBB₂ = ∠A₁BO = ∠A₁C₁O.
  В описанной окружности треугольника ABC, вписанные углы  CAA₂ и CBB₂ опираются на дуги A₂C и B₂C, поэтому их сумма равна углу A₂C₂B₂. Следовательно,  ∠A₁C₁B₁ = ∠OC₁B₁ + ∠OC₁A₁ = ∠CAA₂ + ∠CBB₂ = ∠A₂C₂B₂.
  Аналогично  ∠B₁A₁C₁ = B₂A₂C₂.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	6480