Задача 108150

Темы:    [ Центральная симметрия помогает решить задачу ] [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

Автор: Произволов В.В.

В прямоугольном треугольнике ABC точка O – середина гипотенузы AC . На отрезке AB взята точка M , а на отрезке BC – точка N , причём угол MON – прямой. Докажите, что AM2+CN2 = MN2 .

Подсказка

Рассмотрите симметрию относительно точки O.

Решение

При симметрии относительно точки O вершина A переходит в вершину C , точка M – в некоторую точку M' , отрезок AM – в отрезок CM' , равный AM . При этом, поскольку AM BC и CM'|| AM , то M'CN = 90^o . Кроме того, в треугольнике MNM' высота NO является медианой, значит, M'N=MN . Следовательно,

AM2+CN2 = CM'2+CN2 = M'N2 = MN2.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	6500
олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	62
Год	1999
вариант
Класс	8
задача
Номер	5