|
|
 |
Условие
Ломаная разбивает круг на две равновеликие части. Докажите, что кратчайшая такая ломаная – это диаметр.
Решение
Допустим, что ломаная, отличная от диаметра, делит площадь круга пополам. Можно считать, что ломаная имеет общую точку с окружностью (иначе сделаем параллельный перенос ломаной). Пусть A и B – концы этой ломаной (которые могут и совпадать). Рассмотрим ломаную с концами A' и B', центрально-симметричную исходной ломаной относительно центра круга. Эти две ломаные обязаны пересечься, поскольку каждая из них отсекает половину площади круга. Возьмём ближайшую к точке A точку C пересечения ломаных (расстояния отсчитываются вдоль ломаной от A к B). Центрально-симметричная её точка C' также является точкой пересечения этих ломаных. Среди частей ломаной AC и B'C выберем кратчайший (пусть это AC). Тогда ломаная ACC'A' центрально-симметрична. Следовательно, она делит площадь круга пополам. С другой стороны, она короче (или равна) исходной ломаной. Но диаметр AA' ещё короче (или равен) ломаной ACC'A', причём равенство достигается только тогда, когда исходная ломаная – диаметр.
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| Название | Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
| URL | http://zadachi.mccme.ru |
| задача | |
| Номер | 6519 |
