Условие
В большую шкатулку положили 10 шкатулок поменьше. В каждую из вложенных шкатулок либо положили 10 еще поменьше, либо ничего не положили. В каждую из меньших опять положили или 10, или ни одной, и т.д. После этого оказалось ровно 2006 шкатулок с содержимым. Сколько пустых?
Решение
Каждой шкатулке A, кроме самой первой, сопоставим шкатулку B, в которой она лежит (при этом если сама шкатулка B лежит в некоторой другой шкатулке, то шкатулке A ее уже не сопоставляем). При этом каждой шкатулке, кроме первой, сопоставлена ровно одна шкатулка, а каждая непустая шкатулка сопоставлена ровно десяти шкатулкам. Обозначим за S число всех шкатулок. тогда с одной стороны число "сопоставлений" равно S – 1, а с другой стороны оно равно 10×2006 (по условию имеется 2006 непустых шкатулок). Отсюда следует, что S = 10 × 2006 + 1 – 2006 = 18055.
Ответ
18055.
Источники и прецеденты использования
