Информация о задаче

Задача 108474

Темы:	[	Длины сторон (неравенства)	]
Темы:	[	Неравенство треугольника (прочее)	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Известно, что a, b и c — длины сторон треугольника. Докажите, что

$\displaystyle {\frac{a}{b+c-a}}$ + $\displaystyle {\frac{b}{c+a-b}}$ + $\displaystyle {\frac{c}{a+b-c}}$ $\displaystyle \ge$ 3.

Подсказка

Обозначьте b + c - a = x, c + a - b = y, a + b - c = z. Сумма двух взаимно обратных положительных чисел не меньше 2

Решение

Обозначим

b + c - a = x, c + a - b = y, a + b - c = z.

Из неравенства треугольника следует, что x > 0, y > 0, z > 0. Поскольку

a = $\displaystyle {\frac{y+z}{2}}$ , b = $\displaystyle {\frac{x+z}{2}}$ , c = $\displaystyle {\frac{x+y}{2}}$ ,

а сумма двух взаимно обратных положительных чисел не меньше 2, то

$\displaystyle {\frac{a}{b+c-a}}$ + $\displaystyle {\frac{b}{c+a-b}}$ + $\displaystyle {\frac{c}{a+b-c}}$ = $\displaystyle {\frac{y+z}{2x}}$ + $\displaystyle {\frac{x+z}{2y}}$ + $\displaystyle {\frac{x+y}{2z}}$ =

= $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ $\displaystyle \left(\vphantom{\frac{y+z}{x}+\frac{x+z}{y}+\frac{x+y}{z}}\right.$ $\displaystyle {\frac{y+z}{x}}$ + $\displaystyle {\frac{x+z}{y}}$ + $\displaystyle {\frac{x+y}{z}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{\frac{y+z}{x}+\frac{x+z}{y}+\frac{x+y}{z}}\right)$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ $\displaystyle \left(\vphantom{\frac{y}{x}+\frac{z}{x}+\frac{x}{y}+ \frac{z}{y} + \frac{x}{z} + \frac{y}{z}}\right.$ $\displaystyle {\frac{y}{x}}$ + $\displaystyle {\frac{z}{x}}$ + $\displaystyle {\frac{x}{y}}$ + $\displaystyle {\frac{z}{y}}$ + $\displaystyle {\frac{x}{z}}$ + $\displaystyle {\frac{y}{z}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{\frac{y}{x}+\frac{z}{x}+\frac{x}{y}+ \frac{z}{y} + \frac{x}{z} + \frac{y}{z}}\right)$ =

= $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ $\displaystyle \left(\vphantom{\left(\frac{y}{x}+\frac{x}{y}\right)+ \left(\frac{z}{y}+ \frac{y}{z}\right) + \left(\frac{x}{z} + \frac{z}{x}\right)}\right.$ $\displaystyle \left(\vphantom{\frac{y}{x}+\frac{x}{y}}\right.$ $\displaystyle {\frac{y}{x}}$ + $\displaystyle {\frac{x}{y}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{\frac{y}{x}+\frac{x}{y}}\right)$ + $\displaystyle \left(\vphantom{\frac{z}{y}+ \frac{y}{z}}\right.$ $\displaystyle {\frac{z}{y}}$ + $\displaystyle {\frac{y}{z}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{\frac{z}{y}+ \frac{y}{z}}\right)$ + $\displaystyle \left(\vphantom{\frac{x}{z} + \frac{z}{x}}\right.$ $\displaystyle {\frac{x}{z}}$ + $\displaystyle {\frac{z}{x}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{\frac{x}{z} + \frac{z}{x}}\right)$ $\displaystyle \left.\vphantom{\left(\frac{y}{x}+\frac{x}{y}\right)+ \left(\frac{z}{y}+ \frac{y}{z}\right) + \left(\frac{x}{z} + \frac{z}{x}\right)}\right)$ $\displaystyle \ge$ $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ (2 + 2 + 2) = 3,

что и требовалось доказать.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2270