Информация о задаче

Задача 108489

Темы:	[	Углы между биссектрисами	]
	[	Теорема синусов	]
	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В треугольнике ABC биссектрисы пересекаются в точке O. Прямая AO пересекается с окружностью, описанной около треугольника OBC, в точках O и M. Найдите OM, если BC = 2, а угол A равен 30^o.

Подсказка

Докажите, что OM — диаметр указанной окружности.

Решение

Пусть M' — точка пересечения биссектрис внешних углов при вершинах B и C треугольника ABC. Тогда $\angle$ OBM' = $\angle$ OCM' = 90^o. Значит, около четырёхугольника OBM'C можно описать окружность, причём OM' — диаметр этой окружности. Окружность, описанная около треугольника OBC, совпадает с описанной окружностью четырёхугольника OBM'C, т.к. около треугольника можно описать единственную окружность. Поэтому точка M' совпадает с точкой M.

Если R — радиус окружности, то OM = 2R. Из теоремы синусов следует, что

OM = 2R = $\displaystyle {\frac{BC}{\sin \angle BOC}}$ = $\displaystyle {\frac{BC}{\sin \left(90^{\circ}+\frac{1}{2}\angle BAC\right)}}$ = $\displaystyle {\frac{2}{\sin 105^{\circ}}}$ =

= $\displaystyle {\frac{2}{\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}}$ = $\displaystyle {\frac{8}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}}$ = 2( $\displaystyle \sqrt{6}$ - $\displaystyle \sqrt{2}$ ).

Ответ

2( $\sqrt{6}$ - $\sqrt{2}$ ).

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3974