Информация о задаче

Задача 108493

Темы:	[	Окружность, вписанная в угол	]
	[	Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике	]
	[	Вневписанные окружности	]
	[	Признаки и свойства касательной	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Окружность с центром в точке M касается сторон угла AOB в точках A и B. Вторая окружность с центром в точке N касается отрезка OA, луча BA и продолжения стороны угла OB за точку O. Известно, что ON : OM = 12 : 13. Найдите отношение радиусов окружностей.

Подсказка

Пусть окружность с центром N касается отрезка OA в точке P. Обозначьте $\angle$ ONP = $\angle$ AOM = $\alpha$ , выразите отрезки AO, OP и AP через тригонометрические функции угла $\alpha$ и отрезки ON = 12x и OM = 13x и используйте равентство AO = OP + AP.

Решение

Положим ON = 12x, OM = 13x. Обозначим $\angle$ AOM = $\angle$ BOM = $\alpha$ . Пусть окружность с центром N касается отрезка OA в точке P, луча BO — в точке Q, а луча BA — в точке T.

Поскольку ON $\perp$ OM как биссектрисы смежных углов AOB и AOQ, а NP $\perp$ AO как радиус окружности, проведённый в точку касания, то $\angle$ ONP = $\angle$ AOM = $\alpha$ .

Поскольку AN — биссектриса угла OAT, то

$\displaystyle \angle$ NAP = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ (180^o - $\displaystyle \angle$ OAB) = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ (180^o - (90^o - $\displaystyle \alpha$ )) = 45^o + $\displaystyle {\frac{\alpha}{2}}$ .

Из прямоугольных треугольников OAM, OPN и APN находим, что

AO = OM cos $\displaystyle \angle$ AOM = 13x cos $\displaystyle \alpha$ , OP = ON sin $\displaystyle \angle$ ONP = 12x sin $\displaystyle \alpha$ ,

NP = ON cos $\displaystyle \angle$ ONP = 12x cos $\displaystyle \alpha$ , AP = $\displaystyle {\frac{NP}{{\rm tg }\angle NAP}}$ = $\displaystyle {\frac{12x\cos \alpha}{{\rm tg }\left(45^{\circ}+\frac{\alpha}{2}\right)}}$ .

Поскольку AO = OP + AP, получаем уравнение

13x cos $\displaystyle \alpha$ = 12x sin $\displaystyle \alpha$ + $\displaystyle {\frac{12x\cos \alpha}{{\rm tg }\left(45^{\circ}+\frac{\alpha}{2}\right)}}$ .

Обозначив tg ${\frac{\alpha}{2}}$ = t и применив известные формулы тригонометрии, получим уравнение относительно t:

$\displaystyle {\frac{13(1-t^{2})}{1+t^{2}}}$ = $\displaystyle {\frac{24t}{1+t^{2}}}$ + $\displaystyle {\frac{12(1-t^{2})}{1+t^{2}}}$ ^. $\displaystyle {\frac{1-t}{1+t}}$ ,

откуда находим, что t = ${\frac{1}{5}}$ . Тогда tg $\alpha$ = ${\frac{2t}{1-t^{2}}}$ = ${\frac{5}{12}}$ .

Пусть r и R — радиусы окружностей с центрами M и N соответственно. Тогда

$\displaystyle {\frac{r}{R}}$ = $\displaystyle {\frac{OM\sin \alpha}{ON\cos \alpha}}$ = $\displaystyle {\frac{13x}{12x}}$ ^.tg $\displaystyle \alpha$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{13}{12}}$ ^. $\displaystyle {\textstyle\frac{5}{12}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{65}{144}}$ .

Ответ

${\frac{65}{144}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3978