Информация о задаче

Задача 108499

Темы:	[	Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике	]
Темы:	[	Вспомогательная окружность	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В треугольнике ABC прямые, содержащие высоты AP, CR, и BQ (точки P, R и Q лежат на прямых, содержащих соответствующие стороны треугольника ABC), пересекаются в точке O. Найдите площади треугольников ABC и POC, если известно, что RP параллельно AC, AC = 4 и sin $\angle$ ABC = ${\frac{24}{25}}$ .

Подсказка

Докажите, что данный треугольник равнобедренный. Далее рассмотрите два случая: $\angle$ ABC < 90^o и $\angle$ ABC > 90^o.

Решение

Поскольку из точек P и R отрезок AC виден под прямым углом, эти точки лежат на окружности с диаметром AC. Тогда трапеция ACPR (рис.1) (или ACRP (рис.2)) — равнобедренная. Поэтому треугольник ABC также равнобедренный. Его равные углы при основании AC — острые, BQ — медиана и биссектриса.

Обозначим $\angle$ ABC = $\beta$ . Пусть $\beta$ < 90^o (рис.1). Тогда

cos $\displaystyle \beta$ = $\displaystyle \sqrt{1-\sin^{2} \beta}$ = $\displaystyle \sqrt{1-\left(\frac{24}{25}\right)^{2}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{7}{25}}$ ,

ctg $\displaystyle \angle$ ABQ = ctg $\displaystyle {\frac{\beta}{2}}$ = $\displaystyle {\frac{1+\cos \beta}{\sin \beta}}$ = $\displaystyle {\frac{1+\frac{7}{25}}{\frac{24}{25}}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{32}{24}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{4}{3}}$ .

Тогда

tg $\displaystyle {\frac{\beta}{2}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{3}{4}}$ , cos $\displaystyle {\frac{\beta}{2}}$ = $\displaystyle {\frac{1}{\sqrt{1+{\rm tg }^{2} \frac{\beta}{2}}}}$ = $\displaystyle {\frac{1}{\sqrt{1+\left(\frac{3}{4}\right)^{2}}}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{4}{5}}$ .

Из прямоугольного треугольника AQB находим, что

BQ = AQ^.ctg $\displaystyle \angle$ ABQ = 2^.ctg $\displaystyle {\frac{\beta}{2}}$ = 2^. $\displaystyle {\textstyle\frac{4}{3}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{8}{3}}$ .

Следовательно,

S_ABC = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ^.AC^.BQ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ^.4^. $\displaystyle {\textstyle\frac{8}{3}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{16}{3}}$ .

Из прямоугольных треугольников OQC и OPC находим, что

OC = $\displaystyle {\frac{CQ}{\cos \angle OCQ}}$ = $\displaystyle {\frac{2}{\cos \frac{\beta}{2}}}$ = $\displaystyle {\frac{2}{\frac{4}{5}}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{5}{2}}$ ,

PC = OC^.sin $\displaystyle \angle$ COP = OC^.sin $\displaystyle \beta$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{5}{2}}$ ^. $\displaystyle {\textstyle\frac{24}{25}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{12}{5}}$ ,

OP = OC^.cos $\displaystyle \angle$ COP = OC^.cos $\displaystyle \beta$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{5}{2}}$ ^. $\displaystyle {\textstyle\frac{7}{25}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{7}{10}}$ .

Следовательно,

S_POC = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ^.PC^.OP = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ^. $\displaystyle {\textstyle\frac{12}{5}}$ ^. $\displaystyle {\textstyle\frac{7}{10}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{21}{25}}$ .

Пусть теперь $\beta$ > 90^o (рис.2). Тогда

cos $\displaystyle \beta$ = - $\displaystyle {\textstyle\frac{7}{25}}$ , ctg $\displaystyle {\frac{\beta}{2}}$ = $\displaystyle {\frac{1+\cos \beta}{\sin \beta}}$ = $\displaystyle {\frac{1-\frac{7}{25}}{\frac{24}{25}}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{18}{24}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{3}{4}}$ ,

tg $\displaystyle {\frac{\beta}{2}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{4}{3}}$ , cos $\displaystyle {\frac{\beta}{2}}$ = $\displaystyle {\frac{1}{\sqrt{1+\left(\frac{4}{3}\right)^{2}}}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{3}{5}}$ .

Из прямоугольного треугольника AQB находим, что

BQ = AQ^.ctg $\displaystyle \angle$ ABQ = 2^.ctg $\displaystyle {\frac{\beta}{2}}$ = 2^. $\displaystyle {\textstyle\frac{3}{4}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{3}{2}}$ .

Следовательно,

S_ABC = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ^.AC^.BQ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ^.4^. $\displaystyle {\textstyle\frac{3}{2}}$ = 3.

Из прямоугольных треугольников OQC и OPC находим, что

OC = $\displaystyle {\frac{CQ}{\cos \angle OCQ}}$ = $\displaystyle {\frac{2}{\cos \frac{\beta}{2}}}$ = $\displaystyle {\frac{2}{\frac{3}{5}}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{10}{3}}$ ,

PC = OC^.sin $\displaystyle \angle$ COP = OC^.sin $\displaystyle \beta$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{10}{3}}$ ^. $\displaystyle {\textstyle\frac{24}{25}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{16}{5}}$ ,

OP = OC^.cos $\displaystyle \angle$ COP = OC^.cos(180^o - $\displaystyle \beta$ ) = - OC^.cos $\displaystyle \beta$ = - $\displaystyle {\textstyle\frac{10}{3}}$ ^. $\displaystyle \left(\vphantom{-\frac{7}{25}}\right.$ - $\displaystyle {\textstyle\frac{7}{25}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{-\frac{7}{25}}\right)$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{14}{15}}$ .

Следовательно,

S_POC = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ^.PC^.OP = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ^. $\displaystyle {\textstyle\frac{16}{5}}$ ^. $\displaystyle {\textstyle\frac{14}{15}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{112}{75}}$ .

Ответ

${\frac{16}{3}}$ и ${\frac{21}{25}}$ или 3 и ${\frac{112}{75}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3984