Информация о задаче

Задача 108511

Темы:	[	Теорема Пифагора (прямая и обратная)	]
	[	Средние пропорциональные в прямоугольном треугольнике	]
	[	Теорема косинусов	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В прямоугольном треугольнике ABC отрезок BH является высотой, опущенной на гипотенузу, а BL — медианой в треугольнике BHC. Найдите угол LBC, если известно, что BL = 4 и AH = ${\frac{9}{2\sqrt{7}}}$

Подсказка

Обозначьте HL = CL = x. Применив теорему Пифагора к треугольнику BHL и теорему о квадрате высоты прямоугольного треугольника, проведённой из вершины прямого угла, к треугольнику ABC, составьте квадратное уравнение относительно x. Далее воспользуйтесь теоремой косинусов.

Решение

Обозначим HL = x. Тогда CH = 2x. Из прямоугольных треугольников BHL и ABC находим, что

BH² = BL² - HL² = 16 - x², BH² = CH^.AH = 2x^. $\displaystyle {\frac{9}{2\sqrt{7}}}$ .

Поэтому

16 - x² = 2x^. $\displaystyle {\frac{9}{2\sqrt{7}}}$ .

Из этого уравнения находим, что x = $\sqrt{7}$ .

Тогда

LC = x = $\displaystyle \sqrt{7}$ , BC = $\displaystyle \sqrt{BH^{2}+HC^{2}}$ = $\displaystyle \sqrt{16-x^{2}+4x^{2}}$ = $\displaystyle \sqrt{16+3\cdot 7}$ = $\displaystyle \sqrt{37}$ .

По теореме косинусов из треугольника BCL находим, что

cos $\displaystyle \angle$ LBC = $\displaystyle {\frac{BC^{2}+BL^{2}-LC^{2}}{2BC \cdot BL}}$ = $\displaystyle {\frac{37+16-7}{2\cdot \sqrt{37}\cdot 4}}$ = $\displaystyle {\frac{46}{8\sqrt{7}}}$ = $\displaystyle {\frac{23}{4\sqrt{37}}}$ .

Ответ

arccos ${\frac{23}{4\sqrt{37}}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3996