Информация о задаче

Задача 108518

Темы:	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]
	[	Отношение площадей подобных треугольников	]
	[	Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Окружность, пересекающая боковые стороны AC и CB равнобедренного треугольника ACB соответственно в точках P и Q, является описанной около треугольника ABQ. Отрезки AQ и BP пересекаются в точке D так, что AQ : AD = 4 : 3. Найдите площадь треугольника DQB, если площадь треугольника PQC равна 3.

Подсказка

Рассмотрите две пары подобных треугольников ACB и PCQ, ADB и QDP.

Решение

Поскольку

$\displaystyle \angle$ CPQ = 180^o - $\displaystyle \angle$ APQ = $\displaystyle \angle$ CBA = $\displaystyle \angle$ CAB = 180^o - $\displaystyle \angle$ BQP = $\displaystyle \angle$ CQP,

то треугольник PCQ также равнобедренный. Поэтому PQ $\Vert$ AB. Треугольник ADB подобен треугольнику QDP с коэффициентом ${\frac{AD}{DQ}}$ = 3, тогда треугольник ACB подобен треугольнику PCQ также с коэффициентом 3.

Значит,

S_ACB = 9^.S_PCQ = 27, S_APQB = S_ACB - S_PCQ = 27 - 3 = 24.

Поскольку высоты треугольников AQB и APQ, опущенные на основания соответственно AB и PQ равны, то отношение площадей треугольников равно отношению оснований. Поэтому

S_AQB = $\displaystyle {\textstyle\frac{3}{4}}$ ^.S_APQB = $\displaystyle {\textstyle\frac{3}{4}}$ ^.24 = 18.

Следовательно,

S_DQB = $\displaystyle {\frac{DQ}{AQ}}$ ^.S_AQB = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$ ^.18 = $\displaystyle {\textstyle\frac{9}{2}}$ .

Ответ

${\frac{9}{2}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4102