Информация о задаче

Задача 108530

Темы:	[	Общая касательная к двум окружностям	]
	[	Две касательные, проведенные из одной точки	]
	[	Теорема Пифагора (прямая и обратная)	]
	[	Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Окружность C₁ радиуса 2 $\sqrt{3}$ с центром O₁ и окружность C₂ радиуса $\sqrt{3}$ с центром O₂ расположены так, что O₁O₂ = 2 $\sqrt{13}$ . Прямая l₁ касается окружностей в точках A₁ и A₂, а прямая l₂— в точках B₁ и B₂. Окружности C₁ и C₂ лежат по одну сторону от прямой l₁ и по разные стороны от прямой l₂, A₁ $\in$ C₁, B₁ $\in$ C₁, A₂ $\in$ C₂, B₂ $\in$ C₂, точки A₁ и B₁ лежат по разные стороны от прямой O₁O₂. Через точку B₁ проведена прямая l₃, перпендикулярная прямой l₂. Прямая l₁ пересекает прямую l₂ в точке A, а прямую l₃ — в точке B. Найдите A₁A₂, B₁B₂ и стороны треугольника ABB₁.

Подсказка

Для вычисления A₁A₂ (B₁B₂) опустите перпендикуляр из центра меньшей окружности на радиус O₁A₁ (на продолжение радиуса O₁B₁ большей). Обозначьте AA₂ = AB₂ = x. Найдите x из равенства AA₁ = AB₁ (теорема о равенстве отрезков касательных, проведённых к окружности из одной точки).

Решение

Прямая l₃ препендикулярна прямой l₂ и проходит через точку B₁ касания прямой l₂ с большей окружностью. Поэтому прямая l₃ проходит через центр O₁ большей окружности.

Опустим перпендикуляр O₂F из центра меньшей окружности на радиус O₁A₁ большей. Тогда

O₁F = O₁A₁ - FA₁ = O₁A₁ - O₂A₂ = 2 $\displaystyle \sqrt{3}$ - $\displaystyle \sqrt{3}$ = $\displaystyle \sqrt{3}$ .

По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника O₁O₂F находим, что

O₂F = $\displaystyle \sqrt{O_{1}O_{2}^{2}-O_{1}F^{2}}$ = $\displaystyle \sqrt{(2\sqrt{13})^{2}-(\sqrt{3})^{2}}$ = $\displaystyle \sqrt{52-3}$ = $\displaystyle \sqrt{49}$ = 7.

Следовательно, A₁A₂ = O₂F = 7.

Опустим перпендикуляр O₂E из центра меньшей окружности на продолжение радиуса O₁B₁ большей. Тогда

O₁E = O₁B₁ + B₁E = O₁B₁ + O₂B₂ = 2 $\displaystyle \sqrt{3}$ + $\displaystyle \sqrt{3}$ = 3 $\displaystyle \sqrt{3}$ .

По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника O₁O₂E находим, что

O₂E = $\displaystyle \sqrt{O_{1}O_{2}^{2}-O_{1}E^{2}}$ = $\displaystyle \sqrt{(2\sqrt{13})^{2}-(3\sqrt{3})^{2}}$ = $\displaystyle \sqrt{52-27}$ = $\displaystyle \sqrt{25}$ = 5.

Следовательно, B₁B₂ = O₂E = 5.

Обозначим AA₂ = AB₂ = x. Тогда

AA₁ = A₂A₁ - AA₂ = 7 - x, AB₁ = AB₂ + B₂B₁ = x + 5,

а т.к. AA₁ = AB₁ (теорема о равенстве отрезков касательных, проведённых к окружности из одной точки), то 7 - x = x + 5. Отсюда находим, что x = 1.

Следовательно, AB₁ = x + 5 = 1 + 5 = 6.

Из прямоугольного треугольника AA₂O₂ находим, что

tg $\displaystyle \angle$ A₂AO₂ = $\displaystyle {\frac{O_{2}A_{2}}{AA_{2}}}$ = $\displaystyle {\frac{\sqrt{3}}{1}}$ = $\displaystyle \sqrt{3}$ .

Поэтому $\angle$ A₂AO₂ = 60^o. Поэтому

$\displaystyle \angle$ BAB₁ = 180^o = 2 $\displaystyle \angle$ A₂AO₂ = 180^o - 120^o = 60^o.

Из прямоугольного треугольника ABB₁ находим, что

BB₁ = AB₁^.tg $\displaystyle \angle$ BAB₁ = 6 $\displaystyle \sqrt{3}$ , AB = 2^.AB₁ = 12.

Ответ

A₁A₂ = 7, B₁B₂ = 5, AB₁ = 6, BB₁ = 6 $\sqrt{3}$ , AB = 12.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4114