Задача 108541

Темы:    [ Метод координат на плоскости ] [ Окружность, вписанная в угол ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Составьте уравнение окружности, касающейся осей координат и проходящей через точку A(2;1).

Решение

Поскольку окружность касается осей координат и проходит через точку, расположенную в первой координатной четверти, то центр окружности лежит на прямой y = x. Значит, абсцисса и ордината центра окружности равны её радиусу. Следовательно, уравнение окружности имеет вид

(x - R)² + (y - R)² = R².

Поскольку точка A(2;1) лежит на окружности, координаты этой точки удовлетворяют полученному уравнению, т.е. (2 - R)² + (1 - R)² = R². Отсюда находим, что R = 1 или R = 5. Следовательно, искомое уравнение имеет вид:

(x - 5)² + (y - 5)² = 25 или (x - 1)² + (y - 1)² = 1.

Ответ

(x - 5)² + (y - 5)² = 25 или (x - 1)² + (y - 1)² = 1.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4232