Информация о задаче

Задача 108549

Темы:	[	Метод координат на плоскости	]
	[	Векторы помогают решить задачу	]
	[	Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства	]
	[	ГМТ - окружность или дуга окружности	]

Сложность: 3
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Даны точки A(- 1;3), B(1; - 2), C(6;0) и D(4;5). Докажите, что четырёхугольник ABCD — квадрат.

Подсказка

Докажите, что $\overrightarrow{AB}$ = $\overrightarrow{DC}$ , $\overrightarrow{AB}$ ^. $\overrightarrow{AD}$ = 0 и AB = AD.

Решение

Поскольку

$\displaystyle \overrightarrow{AB}$ = $\displaystyle \overrightarrow{(1-(-1);-2-3)}$ = $\displaystyle \overrightarrow{(2;-5)}$ , $\displaystyle \overrightarrow{DC}$ = $\displaystyle \overrightarrow{(6-4);0-5)}$ = $\displaystyle \overrightarrow{(2;-5)}$ ,

то AB = CD и AB $\Vert$ CD. Значит, данный четырёхугольник — параллелограмм, а т.к.

$\displaystyle \overrightarrow{AD}$ = $\displaystyle \overrightarrow{(4-(-1);5-3)}$ = $\displaystyle \overrightarrow{(5;2)}$ ,

то

$\displaystyle \overrightarrow{AB}$ ^. $\displaystyle \overrightarrow{AD}$ = 2^.5 + (- 5)^.2 = 0,

то AB $\perp$ AD. Поэтому данный четырёхугольник — прямоугольник.

Осталось доказать, что равны его соседние стороны. Действительно, по формуле для расстояния между двумя точками

AD = $\displaystyle \sqrt{(4-(-1))^{2}+(5-3)^{2}}$ = $\displaystyle \sqrt{25+4}$ = $\displaystyle \sqrt{29}$ ,

AB = $\displaystyle \sqrt{(1-(-1))^{2}+(-2-3)^{2}}$ = $\displaystyle \sqrt{4+25}$ = $\displaystyle \sqrt{29}$ .

Что и требовалось доказать.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4240