Информация о задаче

Задача 108562

Темы:	[	Теорема косинусов	]
	[	Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике	]
	[	Теорема Пифагора (прямая и обратная)	]
	[	Скалярное произведение. Соотношения	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними, т.е.

c² = a² + b² - 2ab cos $\displaystyle \gamma$ ,

где a, b, c — стороны треугольника, $\gamma$ — угол, противолежащий стороне, равной c.

Решение

Рассмотрим треугольник ABC. Обозначим AB = c, AC = b, BC = a, $\angle$ ACB = $\gamma$ .

Первый способ.

Пусть AD — высота треугольника.

Рассмотрим случай, когда точка D лежит между точками B и C (рис.1). Из прямоугольных треугольников ADC и ADB находим, что

AD = AC sin $\displaystyle \gamma$ = b sin $\displaystyle \gamma$ , CD = AC cos $\displaystyle \gamma$ = b cos $\displaystyle \gamma$ , BD = BC - CD = a - b cos $\displaystyle \gamma$ ,

c² = AB² = AD² + BD² = (b sin $\displaystyle \gamma$ )² + (a - b cos $\displaystyle \gamma$ )² =

= a² + b²(sin² $\displaystyle \gamma$ + cos² $\displaystyle \gamma$ ) - 2ab cos $\displaystyle \gamma$ = a² + b² - 2ab cos $\displaystyle \gamma$ .

Если точка D лежит на продолжении отрезка BC за точку C (рис.2), то

AD = AC sin $\displaystyle \angle$ ACD = AC sin(180^o - $\displaystyle \gamma$ ) = b sin $\displaystyle \gamma$ ,

CD = AC cos(180^o - $\displaystyle \gamma$ ) = - b cos $\displaystyle \gamma$ , BD = BC + CD = a - b cos $\displaystyle \gamma$ ,

c² = AB² = AD² + BD² = (b sin $\displaystyle \gamma$ )² + (a - b cos $\displaystyle \gamma$ )² =

= a² + b²(sin² $\displaystyle \gamma$ + cos² $\displaystyle \gamma$ ) - 2ab cos $\displaystyle \gamma$ = a² + b² - 2ab cos $\displaystyle \gamma$ .

Если точка D лежит на продолжении отрезка BC за точку B (рис.3), то

AD = AC sin $\displaystyle \gamma$ = b sin $\displaystyle \gamma$ , CD = AC cos $\displaystyle \gamma$ = b cos $\displaystyle \gamma$ , BD = CD - BC = b cos $\displaystyle \gamma$ - a,

c² = AB² = AD² + BD² = (b sin $\displaystyle \gamma$ )² + (b cos $\displaystyle \gamma$ - a)² =

= a² + b²(sin² $\displaystyle \gamma$ + cos² $\displaystyle \gamma$ ) - 2ab cos $\displaystyle \gamma$ = a² + b² - 2ab cos $\displaystyle \gamma$ .

Наконец, если точка D совпадает с точкой C или B, то утверждение очевидно.

Второй способ.

Поскольку

$\displaystyle \overrightarrow{AB}$ = $\displaystyle \overrightarrow{AC}$ + $\displaystyle \overrightarrow{CB}$ ,

то

$\displaystyle \overrightarrow{AB}^{2}_{}$ = $\displaystyle \overrightarrow{AC}^{2}_{}$ + $\displaystyle \overrightarrow{CB}^{2}_{}$ + 2 $\displaystyle \overrightarrow{AC}$ ^. $\displaystyle \overrightarrow{CB}$ =

= AC² + CB² + 2AC^.CB cos(180^o - $\displaystyle \angle$ ACB) = a² + b² + 2ab cos(180^o - $\displaystyle \gamma$ ) =

= a² + b² - 2ab cos $\displaystyle \gamma$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4253