Информация о задаче

Задача 108568

Темы:	[	Площадь треугольника (через две стороны и угол между ними)	]
Темы:	[	Теорема синусов	]

Сложность: 3
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что площадь треугольника равна произведению трёх его сторон, делённому на учетверённый радиус окружности, описанной около треугольника, т.е.

S = $\displaystyle {\frac{abc}{4R}}$ ,

где a, b, c — стороны треугольника, R — радиус его описанной окружности.

Решение

Пусть $\gamma$ — угол треугольника, противолежащей стороне, равной c, a и b — остальные стороны треугольника, а R — радиус окружности, описанной около треугольника. Тогда

sin $\displaystyle \gamma$ = $\displaystyle {\frac{c}{2R}}$ .

Следовательно,

S = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ab sin $\displaystyle \gamma$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ab^. $\displaystyle {\frac{c}{2R}}$ = $\displaystyle {\frac{abc}{4R}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4259