|
|
 |
Условие
Внутри квадрата ABCD лежит квадрат PQRS. Отрезки AP, BQ, CR и DS не пересекают друг друга и стороны квадрата PQRS.
Докажите, что сумма площадей четырёхугольников ABQP и CDSR равна сумме площадей четырёхугольников BCRQ и DAPS.
Решение
Пусть точки H и K – проекции точек P и Q на сторону AB квадрата ABCD, G и E – проекции точек Q и R на сторону BC, L и M – проекции точек R и S на сторону DC, F и N – проекции точек S и P на сторону AD. Предположим, что эти проекции расположены так, как показано на рисунке.
Поскольку последовательные стороны квадратов получаются друг из друга поворотом на угол 90°, то углы между прямыми AB и PQ, BC и QR, CD и RS, DA и SP равны. Поэтому равны и проекции HK, GE, LM и FN сторон меньшего квадрата на соответствующие стороны большего.
Пусть сторона квадрата ABCD равна 1. Обозначим HK = GE = LM = FN = d, SAHP = SANP = p, SBKQ = SBGQ = q, SECR = SLRC = r, SMSD = SFSD = s.
Заметим, что HP + MS = KQ + RL = 1 – d.
Тогда
SAPQB + SCRSD = (SAHP + SBKQ + SPHKQ) + (SDMS + SLRC + SMSRL) = (p + q + ½ (PH + QK)d) + (r + s + ½ (RL + SM)d) =
= p + q + r + s + ½ ((PH + SM) + (QK + RL))d = p + q + r + s + (1 – d)d = p + q + r + s + (1 – d)d.
Аналогично находим, что сумма площадей четырёхугольников APSD и BQRC также равна p + q + r + s + (1 – d)d. (Каждая из этих сумм равна ½ (1 – d²).)
Для любого другого расположения указанных точек через d обозначим величину проекции вектора на направленную прямую AB. Такими же будут величины проекций
на BC,
на CD и
на DA. Чтобы получить площадь четырёхугольника APQB, нужно сумму p + q площадей треугольников APH и KQB увеличить (если d > 0) или уменьшить (если d < 0) на площадь трапеции KPQH. Остальное аналогично.
Замечания
3 балла
