Условие
На сторонах AB, BC и AC треугольника ABC взяты точки P, M и K так, что отрезки AM, BK и CP пересекаются в одной точке и 
Докажите, что P, M и K – середины сторон треугольника ABC.
Решение
Заметим (рис. слева), что
Это значит, что из отрезков AK, CM и BP можно составить треугольник, подобный данному. Следовательно, стороны делятся в одном и том же отношении.
Далее можно рассуждать по-разному.
Первый способ. По теореме Чевы (см. задачу 53856) это возможно, только когда это отношение равно 1.
Второй способ. Пусть 
Обозначим через G точку пересечения медиан AA1, BB1 и CC1 треугольника ABC (рис. справа). Предположим, что p < ½. Тогда точка пересечения отрезков AM и BK лежит внутри треугольника AB1G, а точка пересечения отрезков CP и BK – внутри треугольника BC1G, что невозможно (эти точки совпадают по условию). Аналогично отвергается случай p > ½. Следовательно, p = ½.
Замечания
баллы: 8
Источники и прецеденты использования
|
|
|
web-сайт |
|
Название |
Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
|
URL |
http://zadachi.mccme.ru |
|
задача |
|
Номер |
4290 |
|
|
|
|
олимпиада |
|
Название |
Турнир городов |
|
Турнир |
|
Дата |
1982/1983 |
|
Номер |
4 |
|
вариант |
|
Вариант |
9-10 класс |
|
Задача |
|
Номер |
2 |
