Задача 108621

Темы:    [ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ] [ Взаимное расположение высот, медиан, биссектрис и проч. ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

В треугольнике ABC биссектриса, проведённая из вершины A, высота, проведённая из вершины B, и серединный перпендикуляр к стороне AB пересекаются в одной точке. Найдите угол при вершине A.

Решение

  Пусть  ∠A = 2α,  M – точка пересечения трёх указанных в условии прямых. Поскольку точка M лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AB, то
∠ABM = ∠BAM = α.
  Из прямоугольного треугольника ABH получаем  α + 2α = 90°,  то есть  α = 30°.  Следовательно,  ∠BAC = 60°.

Ответ

60°.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4437