Задача 108630

Темы:    [ Четырехугольник (неравенства) ] [ Площадь треугольника (через две стороны и угол между ними) ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Докажите, что площадь четырёхугольника со сторонами a , b , c и d не превосходит ((a+c)2+bd) .

Решение

Известно, что если P – периметр четырёхугольника, то его максимальная площадь равна (площадь квадрата со стороной ), поэтому максимальная площадь четырёхугольника с фиксированными длинами сторон не зависит от порядка сторон. Кроме того, известно, что площадь четырёхугольника не превосходит полусуммы произведений противоположных сторон. Пусть ABCD – четырёхугольник со сторонами AB=a , BC=d , CD=c и AD = b . Пусть также M и N – середины сторон BC и AD соответственно, и MN=l . Тогда

S_ABMN (al+), S_CDNM (cl+).
Сложив почленно эти неравенства получим, что
S_ABCD + .
Из векторного равенства = (+) следует неравенство l (a+c) , поэтому
S_ABCD + ((a+c)2+bd),
что и требовалось доказать.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4446