Задача 108635

Темы:    [ Медиана, проведенная к гипотенузе ] [ Неравенство треугольника ] [ Средняя линия треугольника ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

На плоскости даны треугольник ABC и такие точки D и E, что  ∠ADB =  ∠BEC = 90°.
Докажите, что длина отрезка DE не превосходит полупериметра треугольника ABC.

Решение

  Пусть F и G – середины сторон AB и BC соответственно. Тогда  DF = ½ AB,  EG = ½ BC.
  Кроме того, FG – средняя линия треугольника ABC, поэтому  FG = ½ AC.  Следовательно,  DE ≤ DF + FG + EG = ½ (AB + AC + BC).

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4451