Задача 108642

Темы:    [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA1 и BB1 . На меньшей дуге AB описанной окружности выбрана такая точка L , что LC=CB . При этом оказалось, что BLB1 = 90^o . Докажите, что высота AA1 делится высотой BB1 пополам.

Решение

Пусть углы треугольника ABC равны α , β и γ соответстветственно. Из равенства хорд LC и CB следует равенство меньших дуг LC и BC , поэтому

BLC = LBC = BAC = α.
Тогда
LBB1 = LBC - B1BC = α - (90^o-γ) =

=α + γ - 90^o = (180^o - β)-90^o = 90^o-β.
Значит,
BB1L = 90^o - LBB1 = 90^o - (90^o - β) = β.
Из равнобедренного треугольника BLC находим, что BL = 2BC cos α . Тогда
BC sin γ = BB1 = = .
Значит, углы треугольника ABC связаны соотношением sin γ sin β = 2 cos α . Пусть H – точка пересечения высот треугольника ABC . Из прямоугольных треугольников AHB1 и ABA1 находим, что
AH = = = ,

AA1 = AB sin β = AB · = 2· = 2AH.
Отсюда следует доказываемое утверждение.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4458