|
|
 |
Условие
В выпуклом четырёхугольнике ABCD известно, что ∠A + ∠D = 120° и AB = BC = CD.
Докажите, что точка пересечения диагоналей равноудалена от вершин A и D.
Решение
Обозначим ∠CAD = α, ∠ADB = β, ∠BDC = ∠DBC = γ, ∠ACB = ∠BAC = δ.
Пусть O – точка пересечения диагоналей четырёхугольника.
Поскольку AOB – внешний угол треугольников AOD и BOC, то
2∠AOB = (α + β) + (γ + δ) = (α + δ) + (β + γ) =∠BAD + ∠ADC = 120°, поэтому ∠AOB = 60°, ∠BOC = 120°. Далее можно рассуждать по-разному.
Первый способ. Пусть E – точка пересечения прямых AB и CD. Тогда ∠AED = 60°.
Сумма противоположных углов BEC и BOC четырёхугольника BECO равна 180°, значит, около него можно описать окружность.
Поэтому
∠BEO = ∠BCO = δ = ∠EAC, то есть треугольник AEO – равнобедренный, AO = OE. Аналогично DO = OE. Следовательно, OA = OD.
Второй способ. Заметим, что ∠B + ∠C = 240°, ∠OBC + ∠OCB = 60°. Поэтому ∠ABD + ∠ACD = 180°.
На продолжении отрезка DB за точку B отложим отрезок BK = CA. Тогда треугольник ABK равен треугольнику DCA по двум сторонам и углу между ними. Поэтому AK = AD,
∠KAD = ∠BAD + ∠CDA = 120°.
Значит, ∠ODA = 30°. Аналогично, ∠OAD = 30°. Следовательно, AO = OD.
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| Название | Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
| URL | http://zadachi.mccme.ru |
| задача | |
| Номер | 4459 |
