Задача 108645

Темы:    [ Вспомогательная окружность ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

AH – высота остроугольного треугольника ABC , K и L – основания перпендикуляров, опущенных из точки H на стороны AB и AC . Докажите, что точки B , K , L и C лежат на одной окружности.

Решение

Пусть точки K и L лежат на сторонах AB и AC соответственно. Из точек K и L отрезок AH виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром AH . Обозначим BAH = β . Тогда по теореме о вписанных углах

KLH = KAH = BAH = β.
Поэтому
KLC = KLH + CLH = β + 90^o,
а т.к.
KBC = ABH = 90^o-β,
то KLC + KBC = 180^o , т.е. четырёхугольник KBCL – вписанный. Отсюда следует утверждение задачи.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4461