Условие
M – точка пересечения диагоналей вписанного четырёхугольника,
N – точка пересечения его средних линий (отрезков, соединяющих
середины противоположных сторон),
O – центр описанной окружности.
Докажите, что
OM 
ON .
Решение
Пусть
E ,
F ,
G и
H – середины сторон соответственно
AB ,
BC ,
CD и
DA данного четырёхугольника
ABCD ;
P и
Q – середины его
диагоналей
AC и
BD соответственно.
Четырёхугольники
EFGH и
PFQH – параллелограммы, причём точка
N –
их общий центр как середина общей диагонали
FH . Значит,
N – середина
отрезка
PQ . Перпендикуляры, опущенные на хорды
AC и
BD из центра
O
описанной окружности четырёхугольника
ABCD , проходят через середины
P
и
Q этих хорд. Значит, из точек
P и
Q отрезок
OM виден под прямым
углом. Следовательно, точки
P и
Q лежат на окружности с диаметром
OM . Поскольку точка
N лежит внутри этой окружности (как середина хорды
PQ ),
то
OM ON .
Источники и прецеденты использования
|
|
|
web-сайт |
|
Название |
Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
|
URL |
http://zadachi.mccme.ru |
|
задача |
|
Номер |
4463 |
