Задача 108660

Темы:    [ Теорема синусов ] [ Вписанные четырехугольники ] [ Пересекающиеся окружности ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Окружности S1 и S2 пересекаются в точках A и B . На окружности S1 взята точка Q . Прямые QA и QB пересекают окружность S2 в точках C и D . Касательные к окружности S1 в точках A и B пересекаются в точке P . Точка Q расположена вне окружности S2 , точки C и D — вне S1 . Докажите, что прямая QP проходит через середину отрезка CD .

Решение

Обозначим QDC = β , QCD = γ . Четырёхугольник ABDC — вписанный, поэтому

ABQ = 180^o- ABD = γ, BAQ = 180^o- BAC = β.
Из теоремы об угле между касательной и хордой следует, что
PAQ = 180^o - ABQ = 180^o-γ, PBQ = 180^o - BAQ = 180^o-β.

Пусть M — точка пересечения прямых PQ и CD . Применяя теорему синусов к треугольникам QCM и QDM находим, что
= , = .
Поэтому
= · .
Применяя теорему синусов к треугольникам APQ и BPQ находим, что
= = = ,

= = = .
Поскольку AP=BP , из последних равенств получаем, что
1= = · .
Тогда
= · = 1.
Следовательно, CM=DM .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4486