Задача 108670

Темы:    [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке O . Окружность, описанная вокруг треугольника ABO , пересекает сторону AD в точке E . Окружность, описанная вокруг треугольника DOE , пересекает отрезок BE в точке F . Докажите, что BCA = FCD .

Решение

По теореме о вписанных углах и свойству вписанного четырёхугольника

EFD = EOD = 180^o- BOE= BAE = BCD.
Поэтому
BFD = 180^o - EFD = 180^o- BCD.
Значит, четырёхугольник BFDC – вписанный. Тогда
BCF = BDF = OEF = OEB = OAB = OCD.
Следовательно, BCA = FCD .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4496