Задача 108678

Темы:    [ Углы между биссектрисами ] [ Вневписанные окружности ] [ Вписанный угол равен половине центрального ] [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ] [ Отрезок, видимый из двух точек под одним углом ] [ Вписанные и описанные окружности ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Автор: Акулич И.Ф.

Окружность с центром D проходит через вершины A, B и центр O вневписанной окружности треугольника ABC , касающейся его стороны BC и продолжений сторон AB и AC. Докажите, что точки A, B, C и D лежат на одной окружности.

Решение

  Обозначим углы треугольника ABC через α, β и γ соответственно. Поскольку BO – биссектриса внешнего угла при вершине B треугольника ABC, а AO – биссектриса угла BAC, то  ∠AOB = 180° – ∠BAO – ∠ABO = 180° – ^α/₂ – (β + ½ (α + γ)) = γ – ^γ/₂ = ^γ/₂.  Поскольку ADB – центральный угол окружности, проходящей через точки A, B и O, а AOB – угол, вписанный в эту окружность, то  ∠ADB = 2∠AOB = γ = ∠ACB.

  Значит, отрезок AB виден из точек C и D, лежащих по одну сторону от прямой AB, под одним и тем же углом. Следовательно, точки A, B, C и D лежат на одной окружности.

Замечания

4 балла

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	6203
олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	56
Год	1993
вариант
Класс	8
задача
Номер	6
олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Дата	1992/1993
Номер	14
вариант
Вариант	весенний тур, основной вариант, 8-9 класс
Задача
Номер	2